如何用两点间距离公式证明椭圆方程上任一点与两焦点距离之和为2a?椭圆方程为（x^2/a^2+y^2/b^2=1)要详细步骤,不要打酱油的!

Question

如何用两点间距离公式证明椭圆方程上任一点与两焦点距离之和为2a?
椭圆方程为（x^2/a^2+y^2/b^2=1)
要详细步骤,不要打酱油的!

Answer 1

将教科书上推导椭圆方程的过程倒过来就可以了.
设F1(-c,0), F2(c,0), b²+ c² =a², P(x,y)为椭圆上一点.|PF1|²=(x+c)²+y², |PF2|²=(x-c)²+y²,
要证明 |PF1| + |PF2| =2a
只须 |PF1|² =(2a - |PF2| )²
只须 |PF1|² =4a² - 4a|PF2| + |PF2| ²
只须 4a|PF2| =4a² -|PF1|² + |PF2| ² (其中 -|PF1|² + |PF2| ²=-4cx)
只须 4a|PF2| =4a² -4cx
只须 a|PF2| =a² -cx
只须 |PF2| ² =(a - cx/a)² , 又 (a - cx/a)² = a² - 2cx+ c²x²/a²
只须 (x-c)²+y²= a² - 2cx+ c²x²/a²
只须 x² + c²+y²= a² + c²x²/a²,
只须 x² (1-c²/a²) + y²= a² - c², 又 b²+ c² =a²
只须 x² b²/a² + y² = b² （两边同除以右端项就是椭圆方程）
由椭圆方程知最后一式成立 ,故结论成立.