(线性空间的同构)在验证两个线性空间V和V'是否同构时,需验证由V到V'的双射σ是否满足：(1)(线性空间的同构)在验证两个线性空间V和V'是否同构时,需验证由V到V'的双射σ是否满足：(1)σ(α+β)=σ

Question

(线性空间的同构)在验证两个线性空间V和V'是否同构时,需验证由V到V'的双射σ是否满足：(1)
(线性空间的同构)在验证两个线性空间V和V'是否同构时,需验证由V到V'的双射σ是否满足：
(1)σ(α+β)=σ(α)+σ(β)
(2)σ(kα)=kσ(α)
那么(1)和(2)中,等式左边的加法和乘法运算是否为定义在V上的加法和乘法?等式右边的加法和乘法是否为定义在V'上的加法和乘法?又或者,不管是等式哪边,加法和乘法都是我们普通意义下的加法和乘法?

Answer 1

线性空间不全都是实数的,如果线性空间是R^n,则其定义就是普通的向量加减、数乘.如果向量空间不是R^n,例如线性微分方程的解空间,那么——因为任何线性空间之所以称为线性空间,是已经定义了向量加减和数乘的了,所以,等式左边是V上的数乘和加减,等式右边是V'上的加减和数乘,不一定就是普通意义的加减和数乘,而且其线性空间定义的数乘和加减.纯手打,