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某学生买了一本数学练习《小题狂做》,每次练习中有8道选择题,每道选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确.评分标准是“每题仅选一个选项,选对得5分,不选或选错得零分”.

题目详情
某学生买了一本数学练习《小题狂做》,每次练习中有8道选择题,每道选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确.评分标准是“每题仅选一个选项,选对得5分,不选或选错得零分”.假设该生确定能做对前5题,第6-7题每题答对可能性均为p,第8题完全不能理解题意,只能随意猜测,若该生做完了8道题得分不少于35分的概率是
5
9

(1)求p的值;
(2)该生要想每次选择题的平均得分不少于35,是否还应继续努力以提高正确率?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,该生确定能做对前5题得25分,其余3道题有2道题每题答对的概率是p,第8题答对的概率是
1
4

设该生做完了8道题得分不少于35分为事件M,则P(M)=
C
2
2
p2•
3
4
+
C
1
2
p(1−p)•
1
4
+p2•
1
4
=
5
9
,∴p=
2
3

(2)设该生得分为ξ,则ξ可取25,30,35,40
P(ξ=25)=(
1
3
)2•
3
4
=
1
12
;P(ξ=30)=
C
1
2
2
3
1
3
3
4
+(
1
3
)2•
1
4
=
13
36

P(ξ=35)=
C
2
2
(
2
3
)2•
3
4
+
C
1
2
2
3
1
3
1
4
=
4
9
;P(ξ=40)=(
2
3
)2•
1
4
=
1
9

∴Eξ=25×
1
12
+30×
13
36
+35×
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