怎么证明：f(x)=sin(x^2)与f(x)=tanx+arctanx,两个非周期函数

Question

怎么证明：f(x)=sin(x^2)与f(x)=tanx+arctanx,两个非周期函数

Answer 1

如果Sin[x^2]是周期函数,那么存在T使得
f(x) =Sin[(x+T)^2] - Sin[x^2] = Sin[xT+T^2/2]Cos[xT+x^2+T^2/2] = 0 恒成立
显然不存在T使得Sin[xT+T^2/2] = 0或Cos[xT+x^2+T^2/2] = 0 恒成立
所以不是周期函数
由于tanx是周期函数,而arctanx不是周期函数,所以和也不是周期函数