解析几何在平面直角坐标系xoy中,点B与点A（0,2）关于原点o对称,动点P满足AP⊥BP（1）求动点P的轨迹C的方程（2)设直线l：y=x+m与曲线c交于M、N两点若点A在以线段MN为直径的圆内,求实数m的取值

Question

解析几何
在平面直角坐标系xoy中,点B与点A（0,2）关于原点o对称,动点P满足AP⊥BP
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2)设直线l：y=x+m与曲线c交于M、N两点
若点A在以线段MN为直径的圆内,求实数m的取值范围

Answer 1

1.因为B与点A（0,2）关于原点o对称,所以点B为：(0,-2).设点P为：(x,y).因为AP⊥BP,所以AP.BP=0（向量积）即：
(x,y-2).(x,y+2)=x^2+(y-2)(y+2)=0即：x^2+y^2=4
所以轨迹C的方程为：x^2+y^2=4,是一个圆心在原点,半径为2的圆.
2.联立圆的方程与直线的方程：
x^2+y^2=4
y=x+m整理得：
2x^2+2mx+(m^2-4)=0
2y^2-2my+(m^2-4)=0设解为：M=（x1,y1）,N=(x2,y2).
以线段MN为直径的圆的圆心为：
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(-m/4,m/4)；
以线段MN为直径的圆的半径为：
√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)/2
=√((x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4x1x2-4y1y2)/2
=√(16-7m^2/2)/2.
点A在以线段MN为直径的圆内.则：
√((m/4)^2+(2-m/4)^2)