α1,α2是Ax=0的两个不同的解,求Ax=0的通解由n-r（A）=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成,怎么得到的?为什么是由一个非零向量?构成?

Question

α1,α2是Ax=0的两个不同的解,求Ax=0的通解
由n-r（A）=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成,怎么得到的?为什么是由一个非零向量?构成?

Answer 1

标题里的问题信息不够,不能求出通解,只能说u*α1+v*α2都是Ax=0的解.
下面的问题是基本结论.r(A)=n-1,那么A的列当中存在n-1个线性无关的向量,且另一个向量可以由它们线性表示,即
存在k和常数c_j使得a_k = \sum_{j!=k}(c_j*a_j)
从而直接可以写出Ax=0的一个解
[c_1,c_2,...,c_{k-1},-1,c_{k+1},...,c_n]'.
又因为上面的表示方式是唯一的(因为线性无关),所以只有一个线性无关的解.