已知三角形的三边长分别为a,b,c,面积为s,求证:a^2+b^2+c^2≥4根号3s是用分析法证.就是要证...只要证...但是不懂怎么写.

Question

已知三角形的三边长分别为a,b,c,面积为s,求证:a^2+b^2+c^2≥4根号3s
是用分析法证.
就是要证...只要证...
但是不懂怎么写.

Answer 1

三角形面积S=(1/2)bc*sinA,
根据余弦定理有：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
将所证不等式右侧移到左边,得：
F=a^2+b^2+c^2-4√3*S=b^2+c^2-2bc*cosA+b^2+c^2-4√3(bc*sinA/2)
=2(b^2+c^2)-2bc(√3sinA+cosA)=2(b^2+c^2)-4bc((√3/2)sinA+(1/2)cosA)
因为√3/2=cos(π/6),1/2=sin(π/6),所以有：
F=2(b^2+c^2)-4bc*sin(A+π/6)
因为(b-c)^2=b^2+c^2-2bc≥0,又 1≥sin(A+π/6)≥-1,
故b^2+c^2≥2bc≥2bc*sin(A+π/6),b^2+c^2-2bc*sin(A+π/6)≥0
即：2(b^2+c^2)-4bc*sin(A+π/6)≥0成立
所以 a^2+b^2+c^2-4√3*S≥0成立,不等式得证