向量证明在四面体P-ABC中,PA、PB、PC两两互相垂直,P在△ABC内的射影为O.试用向量法证明O为△ABC的垂心.

Question

向量证明
在四面体P-ABC中,PA、PB、PC两两互相垂直,P在△ABC内的射影为O.试用向量法证明O为△ABC的垂心.

Answer 1

连接PO,AO并延长AO交BC于点D,连接PD.
∵PA、PB、PC两两互相垂直
∴PA⊥PBC
由此得：PA⊥BC ……（1）
∵P在△ABC内的射影为O
∴PO⊥ABC
由此得：PO⊥BC ……（2）
联合（1）（2）可得：BC⊥PAD
∴ BC⊥AD
同理,以此类推可知O为△ABC的垂心.证毕.