物体的运动--物理＆数学题假设物体在空气中受的阻力f与速度v成正比,即f=kv(k>0)当物体以和重力mg同向的初速度v0开始运动,只受重力和空气阻力作用.物体的运动空间足够大.显然,如果v0=mg/k,物

Question

物体的运动--物理＆数学题
假设物体在空气中受的阻力f与速度v成正比,即f=kv (k>0)
当物体以和重力mg同向的初速度v0开始运动,只受重力和空气阻力作用.物体的运动空间足够大.显然,如果v0=mg/k,物体将恒做匀速直线运动.那么:
(I)求证:当v0mg/k时结论如何?
对(I)请进行严格的数学推证,最好是反证法
对(II)要求对自己的结论给予严格的证明.
已不严谨地证出,这里附上对(I)的证法,方便日后搜索的人:
(以下用表示下脚标,单数字/字母则该符号省)
先承认几个事实:
①速度的变化是连续的.从v1变到v2,则其间的每个值必至少取一次
②若在某时刻有kv=mg,由于合力0,从此将一直匀速运动
③由合力,当v＜mg/k时,将恒加速,当v＞mg/k时,将恒减速
④由②③知,速度在变化过程中是单调的,因此加速度的变化是单调的.速度由vi变到v,所用时间△t应有a＜△t＜a
⑤一列无穷数列,其每一项都不小于某一正的常数,则此数列各项和是正无穷.
现进行证明:
设kv=mg,由题意v0

Answer 1

(II)当v0>mg/k时,物体在任一时刻的速度v(t),都有v(t)>=mg/k.并且在有限的时间内不能取等号.
我一下子也证不出,只说下思路,
(I)从t=0开始考虑,令△t1→0,△t2→0,……,△tn→0,……
每个这样的时间段内都可看作是匀变速运动,
v最终=v0+a1△t1+a2△t2+……
最后应该可以化成个积分式,
而且对时间t从0到无穷的积分是v(t)=mg/k
第(II)证明方法肯定类似
以前看到过类似这样的积分的,想不起了,书在学校没拿回来