正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是（）A．16πB．64πC．16π3D．64π3

Question

正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2√(2)，则它的外接球的表面积是（　　）

A．16π
B．64π
C．(16π)/(3)
D．(64π)/(3)

Answer 1

如图，设正四棱锥底面的中心为O₁，设外接球的球心为O，
则O在正三棱锥的高PO上．
在直角三角形ABC中，AC=√(2)AB=√(2)×2√(2)＝4，
AO₁=2，则高PO₁=√(AP2−AO21)=√((2√(2))2−22)＝√(8−4)＝√(4)＝2，
则OO₁=PO₁-R=2-R，OA=R，
在直角三角形AO₁O中，R²=（2-R）²+2²，
解得R=2，即O与O₁重合，
即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心O₁，且球半径R=2，
球的表面积S=4πr²=16π，
故选A．