阿基米德穷竭法求球的表面积的问题,按照阿基米德的想法,将球无限切分,得到很多的圆,根据圆的周长就可以求出球的表面积.但是我认为,上面的小圆与中间的大圆加在一起应该是πr,如此说来

Question

阿基米德穷竭法求球的表面积的问题,
按照阿基米德的想法,将球无限切分,得到很多的圆,根据圆的周长就可以求出球的表面积.但是我认为,上面的小圆与中间的大圆加在一起应该是πr,如此说来,表面积就应该是2πr²,而不是4πr².百思不得其解,望高人指教……
请驳倒我的理论

Answer 1

虽然我不知道你说什么,但我这里有一个简单的分法.
我不把球面积分为一个个圆,而是把整个球分为一个个一摸一样的整四棱锥,它们的顶点聚集于球心,而其底面则共同构成球面,也就是说这是一个正多面体,于是当正四棱锥无限多时,球体积就等于四棱锥体积和,即V（四棱锥和）=nV（四棱锥)=V（球）=4/3*πr^3
四棱锥的高就是半径,即h=r
又V（四棱锥）=1/3*Sh
所以球面积
S=nS（四棱锥）=n（3V（四棱锥）/h）=3nV（四棱锥）/h=3*4/3*πr^3/r=2πr²
上面的小圆与中间的大圆加在一起不是应该是2πr吗?