任意平方数除以8余数为0，1，4（这是平方数的又一重要特征）．

Question

任意平方数除以8余数为0，1，4（这是平方数的又一重要特征）．

Answer 1

证明：奇数可以表示为2k+1，从而
奇数 ² =4k ² +4k+1=4k（k+1）+1．
因为两个连续正整数k，k+1中必有偶数，所以4k（k+1）是8的倍数，从而
奇数 ² =8t+1≡1（mod8），
偶数 ² =（2k） ² =4k ² （k为正整数）．
（1）若k=偶数=2t，则4k ² =16t ² ≡0（mod8）．
（2）若k=奇数=2t+1，则4k ² =4（2t+1） ² =16（t ² +t）+4≡4（mod8），
所以，平均数≡

0(mod8)

1(mod8)

4(mod8)

，
即任意平方数除以8余数为0，1，4．