关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是非零整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1-2，判断y是否为变量k的函数

Question

关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是非零整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁-2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵k是非零整数，
∴△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=16k²+8k+1-12k²-12k=4k²-4k+1=（2k-1）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=(4k+1)/(k)，x₁•x₂=(3k+3)/(k)，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=((4k+1)2)/(k2)-(12k+12)/(k)=((2k−1)2)/(k2)=（2-(1)/(k)）²，
∵k为整数，
∴2-(1)/(k)＞0，
而x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=2-(1)/(k)，
∴y=2-(1)/(k)-2
=-(1)/(k)（k≠0的整数），
∴y是变量k的函数．