高中数学函数求值域问题.y=2x+√1-x²的值域好像是用（三角换元法）吗?有木有其他更加简单的方法.求详细过程.谢了大家还有根号加根号类型的应该怎么做?

Question

高中数学函数求值域问题.y=2x+√1-x²的值域
好像是用（三角换元法）吗?有木有其他更加简单的方法.求详细过程.谢了大家
还有根号加根号类型的应该怎么做?

Answer 1

因为x的定义域是[-1,1] 可以设x=sint
那么y=2sint+cost
对于acosx+bsinx型函数,可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))
因此y=2sint+cost=√5(cosx/√5+2sinx/√5)
利用和差化积公式,括号内最终是一个sin(x+y)的形式,其中cosy=2/√5 siny=1/√5
但无论怎样,sin(x+y) 的值域一定是[-1,1]
因此y=2sint+cost 的值域是[-√5,√5]
关于这类题,没有一种方法是万能的,要具体情况具体分析,比如数形结合等等.高中数学题最重要的是把握考点,这道题就是考察和差化积公式,用别的方法当然未尝不可,但不一定是最简便的