急!已知曲线C上的动点P到点F（2,0）的距离比到直线X=-1距离大1（1）,求曲线C的方程（2）过点F(2,0）且倾斜角为a(0＜a＜90°）的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB垂直平分线m 交x 轴于点p证明/FP/-/FP

Question

急!已知曲线C上的动点P到点F（2,0）的距离比到直线X=-1距离大1
（1）,求曲线C的方程
（2）过点F(2,0）且倾斜角为a(0＜a＜90°）的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB垂直平分线m 交x 轴于点p证明/FP/-/FP/*cos2a为定值

Answer 1

设动点P（x,y）,动点P到点F（2,0）的距离比它到直线x=-1的距离多1,即动点P到点F（2,0）的距离等于它到直线x=-2的距离
∴根号(x−2)2+y2
＝|x+2|
两边平方（x-2)²+y²=（x+2²化简可得：y²=8x
（II）证明：如图,作AC⊥l,BD⊥l,设A,B的横坐标分别为xA,xB
则|FA|＝|AC|＝xA+p/2=|FA|cosα+4,解得|FA|＝4/1−cosα
同理|FB|=4-|FB|cosα,解得|FB|＝4/1+cosα
记m与AB的交点为E,则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|−1/2|AB|=1/2(4/1−cosα − 4/1+cosα)=4cosα /sin²α
∴|FP|＝|FE|/cosα＝ 4/sin²α
故|FP|−|FP|•cos2α＝ 4/sin²α (1−cos2α)＝8
即FP|-|FP|•cos2α为定值,定值为8．