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“和合文化”是天台山文化的精髓,我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为和合四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的和
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“和合文化”是天台山文化的精髓,我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为和合四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的和合边.
(1)写出你所学过的四边形中是和合四边形的两种图形的名称___、___;
(2)如图(1),已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(7,-7),B(4,4),请你直接写出所有以格点为顶点,OA、OB为和合边且对角线相等的和合四边形OAMB的顶点M的坐标;
(3)如图(2)将△ABC绕顶点B按顺时针旋转60°,得到△DBE,连结AD、DC,∠DCB=30°,求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD为和合四边形.

(1)写出你所学过的四边形中是和合四边形的两种图形的名称___、___;
(2)如图(1),已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(7,-7),B(4,4),请你直接写出所有以格点为顶点,OA、OB为和合边且对角线相等的和合四边形OAMB的顶点M的坐标;
(3)如图(2)将△ABC绕顶点B按顺时针旋转60°,得到△DBE,连结AD、DC,∠DCB=30°,求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD为和合四边形.

▼优质解答
答案和解析
(1)长方形,正方形;
故答案是:长方形,正方形;
(2)如图1,

∵A(7,-7),B(4,4),
∴AB=
=
=
=
,
∵四边形OAMBs是以OA、OB为和合边且对角线相等,
∴于图象可知,点M坐标为(11,3)或(11,-3)和(9,7)和(9,-7);
(3)证明:如图2,连结EC.

根据旋转的性质知△ABC≌△DBE,则BC=BE,AC=DE.
又∵∠CBE=60°
∴△CBE是等边三角形,
∴∠BCE=60°,BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°,
∴DC2+EC2=DE2,
∴DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
故答案是:长方形,正方形;
(2)如图1,

∵A(7,-7),B(4,4),
∴AB=
(7-4)2+(-7-4)2 |
130 |
32+112 |
92+72 |
∵四边形OAMBs是以OA、OB为和合边且对角线相等,
∴于图象可知,点M坐标为(11,3)或(11,-3)和(9,7)和(9,-7);
(3)证明:如图2,连结EC.

根据旋转的性质知△ABC≌△DBE,则BC=BE,AC=DE.
又∵∠CBE=60°
∴△CBE是等边三角形,
∴∠BCE=60°,BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°,
∴DC2+EC2=DE2,
∴DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
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