甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为23与35，且答对一题得1分，答不对得0分．（I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布

Question

甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为 (2)/(3) 与(3)/(5) ，且答对一题得1分，答不对得0分．
（I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望；
（II）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，求这四次答题中至少有一次答对的概率．

Answer 1

（I）依题意，记“甲答对一题”为事件A，
“乙答对一题”为事件B
则 P(A)=(2)/(3) ，P(B)=(3)/(5) ，P(

.

A

)=(1)/(3) ，P(

.

B

)=(2)/(5)
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2
∴ξ的分布列为
P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

B

)=(2)/(15) ；
P(ξ=1)=P(A)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(B)=(2)/(3) ×(2)/(5) +(1)/(3) ×(3)/(5) =(7)/(15)
P(ξ=2)=P(A)P(B)=(2)/(3) ×(3)/(5) =(6)/(15)
Eξ=0×(2)/(15) +1×(7)/(15) +2×(6)/(15) =(19)/(15)
∴每人各答一题，两人得分之和ξ的数学期望为 (19)/(15)
（II）“甲、乙两人各答两题，这四次都没答对”的概率为

.

P

=(1)/(3) ×(1)/(3) ×(2)/(5) ×(2)/(5) =(4)/(225)
∴甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为
P=1-

.

P

=1-(4)/(225) =(221)/(225)
即甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为 (221)/(225)