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(2014•福建模拟)若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是回旋函数,且阶数为a.现有下列4个命题:①幂函数必定不
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(2014•福建模拟)若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是回旋函数,且阶数为a.现有下列4个命题:
①幂函数必定不是回旋函数;
②若sinωx(ω≠0)为回旋函数,则其最小正周期必不大于2;
③若指数函数为回旋函数,则其阶数必大于1;
④若对任意一个阶数为a(a∈[0,+∞))的回旋函数f(x),方程f(x)=0均有实数根.
其中真命题的个数为( )
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个
①幂函数必定不是回旋函数;
②若sinωx(ω≠0)为回旋函数,则其最小正周期必不大于2;
③若指数函数为回旋函数,则其阶数必大于1;
④若对任意一个阶数为a(a∈[0,+∞))的回旋函数f(x),方程f(x)=0均有实数根.
其中真命题的个数为( )
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个
▼优质解答
答案和解析
①若(x+a)n+axn=0对任意实数都成立,令x=0,则必须有a=0,
令x=1,则有(1+a)n+a=0,显然a=0不是这个方程的解,故假设不成立,该函数不是回旋函数,①正确;
②由于f(x)=sinωx是回旋函数,故有:sinω(x+a)+asinωx=0对任意实数x成立
令x=0,可得sinωa=0,令x=
,运用两角的和的正弦公式可得cosωa=-a,故a=±1,ω=kπ(k为整数),所以T=|
|≤2,所以②正确;
③若指数函数y=ax为阶数为m的回旋函数,则ax+m+max=0,∴am+m=0,∴m<0,故③不正确;
④如果a=0,显然f(x)=0,则显然有实根.下面考虑a≠0的情况.
若存在实根x0,则f(x0+a)+af(x0)=0,即f(x0+a)=0说明实根如果存在,那么加a也是实根.因此在区间(0,a)上必有一个实根.则:f(0)f(a)<0,由于f(0+a)+af(0)=0,则f(0)=
,只要a>0,即可保证f(0)和f(a)异号.综上a≥0,即对任意一个阶数为a(a≥0)的回旋函数f (x),方程f(x)=0均有实数根,④正确.
故选C.
令x=1,则有(1+a)n+a=0,显然a=0不是这个方程的解,故假设不成立,该函数不是回旋函数,①正确;
②由于f(x)=sinωx是回旋函数,故有:sinω(x+a)+asinωx=0对任意实数x成立
令x=0,可得sinωa=0,令x=
π |
2 |
2 |
k |
③若指数函数y=ax为阶数为m的回旋函数,则ax+m+max=0,∴am+m=0,∴m<0,故③不正确;
④如果a=0,显然f(x)=0,则显然有实根.下面考虑a≠0的情况.
若存在实根x0,则f(x0+a)+af(x0)=0,即f(x0+a)=0说明实根如果存在,那么加a也是实根.因此在区间(0,a)上必有一个实根.则:f(0)f(a)<0,由于f(0+a)+af(0)=0,则f(0)=
−f(a) |
a |
故选C.
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