在探测某未知天体的过程中，宇航员在一定高度绕该天体转n圈用时t秒，用激光测出高度为h，然后升高到距地面4h处绕天体转动，测得n圈用时2.82t秒（计算时用22t秒）最后返航（引力常量为G

Question

在探测某未知天体的过程中，宇航员在一定高度绕该天体转n圈用时t秒，用激光测出高度为h，然后升高到距地面4h处绕天体转动，测得n圈用时2.82t秒（计算时用2√(2)t秒）最后返航（引力常量为G）
（1）求该天体的密度；
（2）求该天体不瓦解的最小自转周期．

Answer 1

（1）卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：
G(Mm)/((R+h)2)=m((2π)/((t)/(n)))2(R+h)
G(Mm)/((R+4h)2)=m((2π)/((t)/(2.82n)))2(R+4h)
联立解得：
R=2h
M=(108π2n2h3)/(Gt2)   ①
故密度：ρ=(M)/(V)=((108π2n2h3)/(Gt2))/((4)/(3)πR3)=(81πn2)/(8Gt2)
（2）天体达到不瓦解的最小自转周期时，赤道物体的重力恰好提供向心力，故：
G(Mm)/(R2)=m((2π)/(Tmin))2R
解得：
T_min=2π√((R3)/(GM))   ②
联立①②解得：
T_min=(2√(6)t)/(9n)
答：（1）该天体的密度为(81πn2)/(8Gt2)；
（2）该天体不瓦解的最小自转周期为(2√(6)t)/(9n)．