甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独

Question

甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率为(2)/(3)，乙在每局中获胜的概率为(1)/(3)，且各局胜负相互独立．
（1）求没下满5局甲即获胜的概率；
（2）设比赛停止时已下局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

（1）没下满5局甲即获胜有两种情况：
①是两局后甲获胜，此时p₁=(2)/(3)×(2)/(3)=(4)/(9)，
②是四局后甲获胜，此时p₂=（

C

1 2

×(2)/(3)×(1)/(3)）×(2)/(3)×(2)/(3)=(16)/(81)，
∴甲获胜的概率p=p₁+p₂=(4)/(9)+(16)/(81)=(52)/(81)．
（2）依题意，ξ的所有取值为2，4，5，
设前4局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为：
（(2)/(3)）²+（(1)/(3)）²=(5)/(9)，
若该轮结束时，比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛结果是否停止没有影响，
从而有：
P（ξ=2）=(5)/(9)，
P（ξ=4）=(4)/(9)×(5)/(9)=(20)/(81)，
P（ξ=5）=((4)/(9))2=(16)/(81)，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	4	5
P	(5)/(9)	(20)/(81)	(16)/(81)

∴Eξ=2×(5)/(9)+4×(20)/(81)+5×(16)/(81)=(250)/(81)．