如何用数学符号表示集合与集合之间的关系?

Question

如何用数学符号表示集合与集合之间的关系?

Answer 1

集合的概念
一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元.如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母.任何集合是它自身的子集.
元素与集合的关系：
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种.
集合的分类:
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集）,记作A∪B（或B∪A）,读作“A并B”（或“B并A”）,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集）,记作A∩B（或B∩A）,读作“A交B”（或“B交A”）,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）
注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”.
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ.空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集,任何集合是它本身的子集,子集,真子集都具有传递性.
『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素,则 A 称作是 B 的子集,写作 A �� B.若 A 是 B 的子集,且 A 不等於 B,则 A 称作是 B 的真子集,写作 A �� B.
所有男人的集合是所有人的集合的真子集.』
集合的性质：
确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合.
互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象.不能写成{1,1,2},应写成{1,2}.
无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合.
集合有以下性质：若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B
集合的表示方法：常用的有列举法和描述法.
1.列举法：常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法.{1,2,3,……}
2.描述法：常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字,符号或式子等描述出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做描述法.{x|P}（x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|03.图式法：为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈）,用它的内部表示一个集合.
常用数集的符号：
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集）,记作N
（2）非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作N+（或N*）
（3）全体整数的集合通常称作整数集,记作Z
（4）全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q
（5）全体实数的集合通常简称实数集,记作R
集合的运算：
1.交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
2.结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
3.分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
2德.摩根律
Cs(A∩B)=CsA∪CsB
Cs(A∪B)=CsA∩CsB
3“容斥原理”
在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A).例如A={a,b,c},则card(A)=3
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
1985年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式.
吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
求补律
A∪CsA=S
A∩CsA=Φ
[重点]
理解集合的概念,集合的性质,元素与集合的表示方法及其关系.
集合的子、交、并、补的意义及其运用.掌握有关术语和符号,准确使用集合语言表述、研究、处理相关数学问题.
[难点]
有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系.
准确理解、运用较多的新概念、新符号表示处理数学问题.