某飞行器在20000m高度水平匀速飞行，防空系统启动质量m=100kg的防空导弹，导弹的火箭发动机在制导系统控制下竖直向下喷气，使导弹由静止以a=10g（g=10m/s2）的加速度竖直向上匀加速上升至50

Question

某飞行器在20000m高度水平匀速飞行，防空系统启动质量m=100kg的防空导弹，导弹的火箭发动机在制导系统控制下竖直向下喷气，使导弹由静止以a=10g（g=10m/s²）的加速度竖直向上匀加速上升至5000m高度，喷气方向变为与竖直方向成θ角（cosθ=(1)/(11)）斜向下，导弹做曲线运动，直至击中该飞行器．假设导弹飞行过程中火箭推力大小恒定，且不考虑导弹质量变化及空气阻力，导弹可视为质点，试求：
（1）火箭喷气产生的推力大小；
（2）导弹从发射到击中该飞行器所用的时间及水平位移的大小．（计算结果可以用分数和根式表示）

Answer 1

（1）对导弹，由牛顿第二定律得：
F-mg=ma
解得火箭喷气产生的推力为：
F=m（g+a）=100×（10+100）N=11mg=1.1×10⁴N
（2）导弹竖直向上做匀加速直线运动的过程，有
  h₁=(1)/(2)a

t

2 1

，得 t₁=√((2h1)/(a))=√((2×5000)/(10×10))s=10s
由于推力改变方向后，由于 Fcosθ=11mg×(1)/(11)=mg
所以导弹在竖直方向上作匀速运动，运动时间为
  t₂=(H-h1)/(vy)
又 v_y=at₁=100×10=1000m/s，H=20000m
联立解得 t₂=15s
故t_总=t₁+t₂=25s
在5000m高处之后，导弹在竖直方向作匀速运动，水平方向作匀加速运动，则水平方向有：
Fsinθ=ma_x，sinθ=√(1-cos2θ)=(2√(30))/(11)
解得：a_x=20√(30)m/s²；
导弹击中飞机时水平位移为 x_x=(1)/(2)a_xt₂²=2250√(30)m
答：（1）火箭喷气产生的推力大小是1.1×10⁴N；
（2）导弹从发射到击中该飞行器所用的时间是25s，水平位移的大小是2250√(30)m．