己知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点

Question

己知斜率为1的直线l与双曲线C： (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1(a＞0，b＞0) 相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

Answer 1

（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
得（b ² -a ² ）x ² -4a ² x-a ² b ² -4a ² =0，
设B（x ₁ ，y ₁ ），D（x ₂ ，y ₂ ），则 x 1 + x 2 =(4 a2)/(b2 - a2) ， x 1 x 2 =-(4 a2 + a2 b2)/(b2 - a2) ，①
由M（1，3）为BD的中点知 (x1 + x2)/(2) =1 ．
故 (1)/(2) ×(4 a2)/(b2 - a2) =1 ，即b ² =3a ² ，②
故 c=

a 2 + b 2

=2a ，
∴C的离心率 e=(c)/(a) =2 ．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x ² -y ² =3a ² ，A（a，0），F（2a，0），
x 1 + x 2 =2， x 1 x 2 =-(4+3 a2)/(2) ．
故不妨设x ₁ ≤-a，x ₂ ≥a，
|BF|=

( x 1 -2a) 2 + y 1 2

=a-2 x 1 ， |FD|=

( x 2 -2a) 2 + y 2 2

=2 x 2 -a ，
|BF|•|FD|=（a-2x ₁ ）（2x ₂ -a）=-4x ₁ x ₂ +2a（x ₁ +x ₂ ）-a ² =5a ² +4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a ² +4a+8=17．
解得a=1，或 a=-(9)/(5) （舍去），
故 |BD|=

2

| x 1 - x 2 |=

2

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2

=6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．