（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D

Question

（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-(2)/(3)，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（-(2)/(3)，0），
则

c＝2

2＝4a+2b+c

(4)/(9)a−(2)/(3)b+c＝0

，
解得，

a＝−(9)/(8)

b＝(9)/(4)

c＝2

，
∴该二次函数的解析式为：y=-(9)/(8)x²+(9)/(4)x+2；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得
ED=(2)/(3)+1=(5)/(3)，EC=2+(2)/(3)=(8)/(3)，BC=2，
∴BE=√((64)/(9)+4)=(10)/(3)．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴

作业帮用户 2017-10-15 举报

问题解析

（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到(DG)/(BC)=(DE)/(BE)，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；
（3）利用待定系数法求得直线BE为：y=(3)/(4)x+(1)/(2)．则易求P（1，(5)/(4)）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=(4)/(3)t，DN=(4)/(3)t-1．所以S=S_△PND+S_梯形PDCM-S_△MNC=-(2)/(3)t2+(4)/(3)t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在（3）题中的应用．

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