某质量分布均匀的球状天体的密度为P',半径为R,引力常量为G.1证明：贴近该天体表面运行的卫星的运动周期与天体的大小无关；2假设该天体表面充满厚度为d=0.5R.密度为P=(4P')/19的均匀介质,天

Question

某质量分布均匀的球状天体的密度为P',半径为R,引力常量为G.1证明：贴近该天体表面运行的卫星的运动周期与天体的大小无关；2假设该天体表面充满厚度为d=0.5R.密度为P=(4P')/19的均匀介质,天体自转的角速度为 w'={根号下(圆周率GP')}/2,求环绕天体做东的同步卫星距天体表面的高度.

Answer 1

1.根据牛顿第二定律,
GMm/R²=mR(2π/T)²
又M=P'V,
V=4πR³/3
所以T=√（3π/GP'）
2因为卫星与天体同步,所以卫星的角速度也为w',
则有GM/（R+H）²=w'²*(R+H)
(R+H)³=GM/w'²=4M/πP'
又M=P(V-V')+P'V'
=4P'/19*4π/3*(R‘³-R³)+P'*4πR³/3
=2P'πR³/3 + 4P'πR³/3
=2P’πR³
∴(R+H)³=8R³
H=R
所以距天体表面高度为R （距其最外面的均匀介质的距离为0.5R）