已知椭圆x^2/2+y^2=1及椭圆外一点M（0,2）,过这点引直线与椭圆交与A,B两点,求AB中点P的轨迹方程

Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1及椭圆外一点M（0,2）,过这点引直线与椭圆交与A,B两点,求AB中点P的轨迹方程

Answer 1

设直线AB的方程为：Y=kX+2 (因为直线AB过点M,与Y轴的截距为2）A、B中点的坐标为（X,Y)联立直线AB方程：Y=kX+2 和椭圆方程：X��/2+Y��=1 得：（1＋2k��﹚X��+8kX＋6=0显然此方程的解就是A、B两点的横坐标,设X1和X2为此方程的两个解,根据一元二次方程根与系数的关系得：X1+X2=－b/a=－8k/(1+2k��﹚∴X=��﹙X1+X2﹚=－4k/(1+2k��﹚这是AB中点的横坐标因为AB的中点坐标满足直线AB的方程Y=kX+2 ,所以Y=k﹙－4k/(1+2k��﹚＋2=2/(1+2k��﹚ 这是AB中点的纵坐标显然：X=－2kY 由此可以得到：k=－X/2Y又由Y=kX+2可以得到：k=(Y－2﹚/X因此：k=－X/2Y=(Y－2﹚/X由上式可得AB中点的轨迹方程为：X��＋2Y��－4Y=0