一上面开口内壁和底面光滑的圆桶放在粗糙的水平地面上,圆桶的内半径为R,高为h,一可视为质点质量为m的小球在桶底以速度V0做匀速圆周运动,当小球运动到底面的A点时,施与小球一竖直向上

Question

一上面开口内壁和底面光滑的圆桶放在粗糙的水平地面上,圆桶的内半径为R,高为h,一可视为质点质量为m的小球在桶底以速度V0做匀速圆周运动,当小球运动到底面的A点时,施与小球一竖直向上的恒力F,小球转一圈后到达A点的正上方B点,若AB=h／4,则（1）,地面对圆桶的静摩擦力大小和方向；（2）,力F的大小；（3）,小球离圆桶时的位置和此时的速度大小.

Answer 1

1.小球在桶底做匀速圆周运动,受到向心力的作用,由题意知小球能沿桶内表面向上旋转,可知小球是沿桶的内壁做匀速圆周运动的,并且知桶的内壁对小球的弹力提供了向心力.桶对小球有弹力作用,由作用力与反作用力知小球对桶同样有个弹力,这个弹力就等于向心力.
也就是说,小球在运动过程中,桶总是受到了小球对桶的一个沿半经向外的弹力作用.但桶保持静止,说明桶所受合外力为0,即桶必然还受到一个与弹力反方向的静摩擦力,并且大小相等,方向相反,所以
f=mv²/R 方向是沿桶横截面的半经指向圆心.
2.由题意知“小球转一圈后到达A点的正上方B点,AB=h／4,可知小球参与了两个运动：一个是竖直向上的匀加速直线运动（这是因为小球受到了一个向上的恒力作用）,一个是匀速圆周运动.这两个运动的时间相同.正好运动到了正上方,说明运动的时间为圆周运动的一个周期T.
分析竖直方向的受力情况,受到了竖直向上的拉力F,还有竖直向下的重力.于是
F-mg=ma
而竖直方向上做的是初速度为0的匀加速直线运动,于是
s=h/4=aT²/2
而T是圆周运动的周期,于是
T=2π/ω=2πR/v
联立可得F=mg+mhv²/8π²R²
3.先计算小球离开桶所用的时间（也就是小球在竖直方向上位移达到h时所用的时间）,则有
h=at²/2
而由刚才 h/4=aT²/2
两式比一下,可解得t=2T,于此可知当离开桶时,小球正好经过了两个周期,所以离开的位置就在A点的正上方.
速度v＇=at
由前边可解得a=hv²/8π²R²,t=2T=2*2πR/v
解得v＇=hv/2πR
（以上式子里边的v都指圆周运动的速度V0）