（文科）袋中共有红球和白球10个，其中红球个数不少于3个，现从袋中任意取出3个球，问袋中有多少个红球时，使取得的球全为同色球的概率最小？

Question

（文科）袋中共有红球和白球10个，其中红球个数不少于3个，现从袋中任意取出3个球，问袋中有多少个红球时，使取得的球全为同色球的概率最小？

Answer 1

设x，y分别为红球和白球的个数，则有x+y=10，x，y∈N ₊ ，x≥3
从10个球中任取3个球，全为红色的概率为 P 1 =(C3x)/(C310) =(x(x-1)(x-2))/(10×9×8) ，
全为白色的概率为 P 2 =(C3y)/(C310) =(y(y-1)(y-2))/(10×9×8) ，上述两个事件互斥，故取出3个球全为同色球的概率为： P= P 1 + P 2 =(x(x-1)(x-2))/(10×9×8) +(y(y-1)(y-2))/(10×9×8) =(x(x-1)(x-2)+y(y-1)(y-2))/(720)

P=(( x3 + y3 )-3( x2 + y2 )+2(x+y))/(720) =((x+y)3 -3xy(x+y)-3[ (x+y)2 -2xy]+2(x+y))/(720)

=(1000-30xy-3(100-2xy)+20)/(720) =1-(xy)/(30)

又∵x+y=10，
∴xy≤ ((x+y)/(2) ) 2 =25，此时x=y=5，
因此当x=5时，P最小，此时P= (1)/(6)