某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积

Question

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为(64π)/(3)立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
（Ⅰ）将y表示成r的函数f（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数f（r）的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
（参考公式：球的表面积公式S=4πr²，球的体积公式V=(4)/(3)πr³，圆柱体的侧面积公式S=2πrl，圆柱体的体积公式V=πr²l）

Answer 1

（Ⅰ）因为容器的体积为(64π)/(3)立方米，所以(4πr3)/(3)+πr2l＝(64)/(3)π，解得l＝(64)/(3r2)−(4)/(3)r
所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr((64)/(3r2)−(4)/(3)r)＝(128π)/(3r)−(8πr2)/(3)，
两端两个半球的表面积之和为4πr²
所以y＝((128π)/(3r)−(8πr2)/(3))×3+4πr2×4＝(128π)/(r)+8πr2
又l＝(64)/(3r2)−(4)/(3)r＞0⇒r＜2(4)/(3)，所以定义域为(0，2(4)/(3))
（Ⅱ）因为y′＝−(128π)/(r2)+16πr＝(16π(r3−8))/(r2)
所以令y′＞0，得2＜r＜2(4)/(3)；令y′＜0，得0＜r＜2
所以当r=2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时：l＝(8)/(3)