用变量代换x=et化简微分方程（x2lnx）y″-xy′+y=0，再通过变换z=dydt-y，求该微分方程的通解．

Question

用变量代换x=e^t化简微分方程（x²lnx）y″-xy′+y=0，再通过变换z=(dy)/(dt)-y，求该微分方程的通解．

Answer 1

设x=e^t，则(dy)/(dx)＝(dy)/(dt)(dt)/(dx)＝(1)/(x)(dy)/(dt)，
代入微分方程（x²lnx）y″-xy′+y=0中，可得：
t(d2y)/(dt2)-(t+1)(dy)/(dt)+y＝0．①
设z＝(dy)/(dt)−y，则(dz)/(dt)=(d2y)/(dt2)−(dy)/(dt)，
由①可得：
t(dz)/(dt)−z＝0．
即：(dz)/(z)＝(dt)/(t)．
两边积分可得：ln|z|=ln|t|+

.

C1

．
从而，z=

.

C1

t，
即：(dy)/(dt)−y＝

.

C1

t(dy)/(dt)−y＝C1t．
利用一阶微分方程的求解公式可得，
y=e^∫1dt(∫

.

C1

te∫−1dtdt+C2)
=et(−

.

C1

(1+t)e−t+C2)
=C1(1+t)+C2et．
故y=C₁（1+ln|x|）+C₂x．