根号下(1+x^2*sinx^2)求积分用du置换后会出现dx=du/sinx+xcosx根本解决不了而且根号下(1+u^2)du也是一个很难解的积分用逆三角置换也很难的

Question

根号下(1+x^2*sinx^2) 求积分
用du置换后会出现dx=du/sinx+xcosx 根本解决不了 而且根号下(1+u^2) du也是一个很难解的积分 用逆三角置换也很难的

Answer 1

令u^2=x^2sinx^2代换求∫√(u^2+1)du的解.
则u=xsinx;du=dxsinx+xcosxdx
或du=(sinx+xcosx)dx;dx=du/(sinx+xcosx)
代换得∫√(1+x^2*sinx^2)dx=[∫√(1+u^2)du]/(sinx+xcosx)把分母当常数只求分子部分的解:
∫√(1+u^2)du=(u/2)(√(1+u^2)+ln(u+√(1+u^2)/2+C 把u代入再除以上面的分母就OK了!