2008年9月我国成功发射“神舟七号”载人航天飞船．如图为“神舟七号”绕地球飞行时的电视直播画面，图中数据显示，飞船距地面的高度约为地球半径的120．已知地球半径为R，地面附近的

Question

2008年9月我国成功发射“神舟七号”载人航天飞船．如图为“神舟七号”绕地球飞行时的电视直播画面，图中数据显示，飞船距地面的高度约为地球半径的(1)/(20)．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，大西洋星距地面的高度约为地球半径的6倍．设飞船、大西洋星绕地球均做匀速圆周运动．试求：
（1）“神舟七号”飞船在轨运行的线速度为多少？
（2）大西洋星在轨运行的角速度为多少？
（3）若假定“神舟七号”飞船和大西洋星的周期分别为T₁和T₂，某时刻大西洋星、“神舟七号”飞船正好相距最近，再经过多少时间它们刚好又处于最近位置？（结果用T₁，T₂及相关常数表示）

Answer 1

（1）设地球质量为M，半径为R，对“神舟七号”飞船由万有引力提供向心力可得：
G(Mm)/(r2)＝m(v2)/(r)，
其中：r＝R+(R)/(20)．
又：GM=gR²，
解得：
v＝√((20gR)/(21))．
（2）对太平洋星由万有引力提供向心力可得：
G(Mm)/(r2)＝mrω 2，
其中：r=7R，
又：GM=gR²，
解得：
ω＝(1)/(7)√((g)/(7R))．
（3）因为“神舟七号”飞船比大西洋星运动的快，在相同时间内，“神舟七号”飞船比大西洋星多运动一周，两者再次同时回到原来相距最近的位置，由此可得：
(t)/(T1)−(t)/(T2)＝n（n=1、2、3…），
解得：
t＝(nT1T2)/(T2−T1)（n=1、2、3…）．
答：（1）“神舟七号”飞船在轨运行的线速度为v＝√((20gR)/(21))．
（2）大西洋星在轨运行的角速度为ω＝(1)/(7)√((g)/(7R))．
（3）若假定“神舟七号”飞船和大西洋星的周期分别为T₁和T₂，某时刻大西洋星、“神舟七号”飞船正好相距最近，再经过t＝(T1T2)/(T2−T1)（n=1、2、3…）时间它们刚好又处于最近位置．