难题，懒人勿近。由实数轴上无理数比有理数多而产生的疑问。是否存在“无理线段”？即实数轴上是否存在某些数，其间没有有理数？若存在，线段长为0还是接近0呢？虽然有理数在实

Question

难题，懒人勿近。由实数轴上无理数比有理数多而产生的疑问。是否存在“无理线段”？ 即实数轴上是否存在某些数，其间没有有理数？ 若存在，线段长为0还是接近0呢？ 虽然有理数在实数轴上很稠密，但有理数与无理数的比例接近于0，即无理数比有理数更稠密。 那按一般的推理，两类数虽然相互夹杂，但有些无理数之间应该没有有理数存在，即应该存在“无理线段”。 从无限集来看，无理数是可数集，若实数轴上截取首尾相接的线段组成的集合可以是不可数集，则必存在“无理线段”。 那问题的关键就是能否截取组成不可数集的线段集呢？ 若不能，会否是因为“截取”这操作是至多可数的？ （若线段也为可数集，则不一定。例如自然数集也是可数集，但显然存在某些有理数其间没有自然数。） 希望回答有理有据，想当然的就免了。 谢谢！

Answer 1

不存在“无理线段”，有理数是稠密的，任意两个不等的实数之间总有有理数。 证明如下： 设A,B为两实数，A，B不相等，则存在自然数N使得2^(-N)