高数题!用两种方法解答.求过两平面4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线,切过原点的平面方程.（一种用平面束,还有一种交线与原点的关系）急需.

Question

高数题!用两种方法解答.
求过两平面4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线,切过原点的平面方程.（一种用平面束,还有一种交线与原点的关系）急需.

Answer 1

方法一（平面束）首先设已知的两平面交线为L,过L的平面束方程为（4x-y+3z-1）+k（x+5y-z+2）=0,然后因为过原点,将坐标（x,y,z）=(0,0,0,)代入平面束方程,求得k=1/2,再代回平面束方程得到一个确定平面9x+3y+5z=0即为所求平面.
方法二（交线与原点的关系）首先设已知的两平面交线为L,L的方向向量由两已知平面的法向量求向量积,即由（4,-1,3）与（1,5,-1）求向量积得向量a（-2,1,3）.再由两已知平面的方程联立为三元一次方程组（两个方程,三个未知量）,从中取y为任一数,譬如取y=0,代入方程组解出x=-5/7,z=9/7,这是直线上的一个点的坐标.将点（0,0,0）和直线上点（-5/7,0,9/7）联成向量b（-5/7,0,9/7）.再由向量a、b求向量积c,c即为所求平面的法向量,原点坐标已知,根据点法式即可求得平面方程.