（2014•福建模拟）某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之间拉一条“定位线”EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3．（单位

Question

（2014•福建模拟）某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之间拉一条“定位线”EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3．（单位：分米）
（Ⅰ）若点E、F分别为AB、CD的中点，请指出此时直线EF与直线BC的位置关系（直接写出结论）；
（Ⅱ）若E、F分别在AB、天花板ACD上运动时，始终保持“定位线”EF的长为定值2，记EF的中点为G，试探究线段AG的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD的距离为(√(3))/(3)且与另两墙距离之和最大处，求此时直线AG平与面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）直线EF与直线BC的位置关系：异面；
（Ⅱ）AB、AC、AD两两垂直，BA⊥面ACD，E、F分别在AB、天花板ACD上运动，∴EA⊥AF，在Rt△AEF，G为EF的中点，EF=2，∴AG=1；
（Ⅲ）以AC、AD、AB为x、y、z轴建系，设G（x，y，(√(3))/(3)），由（Ⅱ）知，AG=1，∴x2+y2+((√(3))/(3))2＝1，x2+y2＝(2)/(3)，点G两墙距离之和x+y，由

n

x²+y²≥2xy，∴2（x²+y²）≥（x+y）²，即x+y≤√((4)/(3))，
当且仅当x=y=(√(3))/(3)时取等号，此时，

AG

=（

作业帮用户 2016-12-08 举报

问题解析

（Ⅰ）由直线的位置关系可判断；（Ⅱ）由线面垂直得到EA⊥AF，在Rt△AEF，G为EF的中点，EF=2，∴AG=1；（Ⅲ）建系，利用空间向量解决．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：

本题以实际问题为背景，考查空间直线的位置关系，线面角，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．

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