函数与反函数的函数图像与反函数图像是否一定关于y=X对称,原因~是什么?还有：y=(1/16)^x与它的反函数“y=以1/16为底x的对数"上都有（1/2,1/4）和（1/4,1/2）,为什么交点不在y=x直线上?好像有个"

Question

函数与反函数的
函数图像与反函数图像是否一定关于y=X对称,原因~是什么?
还有：y=(1/16)^x与它的反函数“y=以1/16为底x的对数"上都有
（1/2,1/4）和（1/4,1/2）,为什么交点不在y=x直线上?好像有个"关于直线对称的图形的交点都在对称轴上“的定理,

Answer 1

下面一律用f~1(x)表示f(x)的反函数
1 这个结论是正确的 假设f(x)上任意一点(a,b) 有f(a)=b
于是f~1(b)=a 即f~1(x)必过(b,a) 而(a,b)和(b,a)是关于直线y=x对称的 即把横纵坐标互换 故其图像关于直线y=x对称
2 (1)这个函数和其反函数画出来大概是这个样子:
其中红线表示y=(1/16)^x的图像 蓝线表示y=log-1/16-x的图像
看起来似乎是在某一点相切 交点应该是在y=x上的
但经过验证 发现(1/2,1/4)和(1/4,1/2)确实是两函数的交点
不过,它们也必有在y=x上的交点 证明如下:
直观上,连接(1/2,1/4)和(1/4,1/2) 线段通过直线y=x
这两个函数都是连续的 若f(x)与直线y=x无交点 即f(x)只在y=x的一侧 则y=f~1(x)在y=x的另一侧 不可能它们再有交点
所以如果它们有除了y=x上的交点 必至少存在一交点P(x0,y0)
使得x0=y0
具体到这个题来讲 可以证明y=(1/16)^x和y=x有在区间(1/4,1/2)上的交点 如下:
设函数f(x)=(1/16)^x-x 令f(x)=0即可解得y=(1/16)^x和y=x的交点
它们的交点也一定在y=log-1/16-x上
而f(x)在区间(1/4,1/2)上连续的
f(1/4)=1/4>0 f(1/2)=-1/4