一般三次方程式是怎么样因式分解的?形如：ax^3+bx^2+cx+d=0的式子怎么进行因式分解?

Question

一般三次方程式是怎么样因式分解的?
形如：ax^3+bx^2+cx+d=0的式子怎么进行因式分解?

Answer 1

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是:x3+sx2+tx+u=0如果作一个横
坐标平移y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消去.
所以我们只要考虑形如:x3=px+q的三次方程.
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数,
代入方程,我们就有:a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到:a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q.由二次方程理论可知,一定
可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,
3ab+p=0.这样上式就成为a3-b3=q,两边各乘以27a3,就得到:
27a6-27a3b3=27qa3.由p=-3ab可知:27a6 + p = 27qa3,
这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a.进而可解出b和根x.