如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB．连接OC交⊙O于D，BD的延长线交AC于E，求AE的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB．连接OC交⊙O于D，BD的延长线交AC于E，求AE的长．

Answer 1

如图，连接AD，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
又∵∠3=∠4，且∠1=∠2，
则∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CDE∽△CAD，
有(CD)/(DE)＝(CA)/(AD)（1）．
又△ADE∽△BDA，
∴(AE)/(DE)＝(AB)/(AD)（2）．
由（1）、（2）及AB=AC得AE=CD．
∵△CDE∽△CAD，
∴(CD)/(CA)=(CE)/(CD)，
∴CD²=CA•CE，
令AE=x，则CE=d-x，于是有x²=d（d-x），
即x²+dx-d²=0，
解此方程并取正根，得AE=x=(√(5)−1)/(2)d．