（2014•四川模拟）学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有15改选B菜；而选B菜的，下星期一会有310改选A菜．用a

Question

（2014•四川模拟）学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有(1)/(5)改选B菜；而选B菜的，下星期一会有(3)/(10)改选A菜．用a_n，b_n分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数．
（1）试用a_n+1（n∈N^*，n≥2）表示a_n，判断数列{a_n-300}是否成等比数列并说明理由；
（2）若第一个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？

Answer 1

（1）由题知，对n∈N^*有b_n=500-a_n，
∴当n∈N^*且n≥2时，an＝(4)/(5)an−1+(3)/(10)(500−an−1)⇒an＝(1)/(2)an−1+250⇒an−300＝(1)/(2)(an−1−300)，
∴a_n+1=(1)/(2)a_n+250，
∴当a₁=300时，{a_n-300}不是等比数列；
  当a₁≠300时，{a_n-300}是以a₁-300为首项，(1)/(2)为公比的等比数列．
（2）当a₁=200时，an−300＝((1)/(2))n−1(a1−300)⇒an＝300−(100)/(2n−1)⇒a10＝300−(100)/(29)≈300
∴第10个星期一选A种菜的大约有300人．