（2014•松江区二模）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x-1）与椭圆C交于A、B两点，若点M（114，0），求证MA•MB

Question

（2014•松江区二模）已知椭圆x²+2y²=a²（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线y=k（x-1）与椭圆C交于A、B两点，若点M（(11)/(4)，0），求证

MA

•

MB

为定值．

Answer 1

（本题满分（14分）；第（1）小题（6分），第（2）小题8分）
（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，
则b2=(a2)/(2)，由c²=a²-b²，得c2=a2-(a2)/(2)=(a2)/(2)，
由(1)/(2)×b×2c=4，解得a²=8，b²=4，
∴椭圆方程为(x2)/(8)+(y2)/(4)=1．（6分）
（2）由

y=k(x-1)

x2+2y2=8

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得：x1+x2=(4k2)/(2k2+1)，x1x2=(2k2-8)/(2k2+1)，
∴

MA

•

MB

=(x1-(11)/(4)，y1)•(x2-(11)/(4)，y2)，
=x1x2-(11)/(4)(x1+x