设m为不小于2的正整数，对任意n∈Z，若n=qm+r（其中q，r∈Z，且0≤r≤m），则记fm（n）=r，如f2（3）=1，f3（8）=2．下列关于该映射fm：Z→Z的命题中，正确的是．①若a，b∈Z，则fm（a+b）=fm

Question

设m为不小于2的正整数，对任意n∈Z，若n=qm+r（其中q，r∈Z，且0≤r≤m），则记f_m（n）=r，如f₂（3）=1，f₃（8）=2．下列关于该映射f_m：Z→Z的命题中，正确的是______．
①若a，b∈Z，则f_m（a+b）=f_m（a）+f_m（b）
②若a，b，k∈Z，且f_m（a）=_m（b），则f_m（ka）=f_m（kb）
③若a，b，c，d∈Z，且f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d），则f_m（a+c）=f_m（b+d）
④若a，b，c，d∈Z，且f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d），则f_m（ac）=f_m（bd）

Answer 1

根据题意，f_m（n）=r表示的意义是n被m整除所得的余数r；
∴对于①，当m=3，a=4，b=5时，f₃（4+5）=0，f₃（4）=1，f₃（5）=2，f₃（4+5）≠f₃（4）+f₃（5）；∴①错误．
对于②，当f_m（a）=_m（b）时，即a=q₁m+r，b=q₂m+r，∴ka=kq₁m+kr，kb=kq₂m+kr，
即f_m（ka）=f_m（kb）；∴②正确．
对于③，当f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d）时，即a=q₁m+r₁，b=q₂m+r₁，c=p₁m+r₂，d=p₂m+r₂，
∴a+c=（q₁+p₁）m+（r₁+r₂），b+d=（q₂+p₂）m+（r₁+r₂），
即f_m（a+c）=f_m（b+d）；∴③正确．
对于④，当f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d）时，即a=q₁m+r₁，b=q₂m+r₁，c=p₁m+r₂，d=p₂m+r₂，
∴ac=q₁p₁m²+（r₂q₁+r₁p₁）m+r₁r₂，bd=q₂p₂m²+（r₂q₂+r₁p₂）m+r₁r₂，
即f_m（ac）=f_m（bd）；∴④正确．