请问这道题的极限怎么求求limx→0（tanx/x)^(1/x^2)

Question

请问这道题的极限怎么求
求limx→0（tanx/x)^(1/x^2)

Answer 1

y=（tanx/x)^(1/x^2)
lny=(1/x^2)ln(tanx/x)
lim[x-->0](1/x^2)ln(tanx/x)
=lim[x-->0](lntanx-lnx)/x^2
=lim[x-->0]sec^2(x)/tanx-1/x)/(2x)
=lim[x-->0]1/(sinxcosx)-1/x)/(2x)
=lim[x-->0](x-sinx)/(2x^2sinx)
=lim[x-->0](x-x-x^3/6+o(x^3))/(2x^3)
=1/3
∴lim[x→0](tanx/x)^(1/x^2)=e^(1/3)