一个小物块放在半径为定值的光滑半球的顶端,半球固定在水平地面上,当小物块偏离顶端稍许即不能平衡,则小物块最终要滑至地面,问物块落至地面时的速度方向与地面的夹角为多大?8度,我算

Question

一个小物块放在半径为定值的光滑半球的顶端,半球固定在水平地面上,当小物块偏离顶端稍许即不能平衡,则小物块最终要滑至地面,问物块落至地面时的速度方向与地面的夹角为多大?
8度,我算出来67.4度

Answer 1

设半球半径,与水平面的圆心角小于θ时木块脱离半球
圆心角为θ时距地高度h=Rsinθ,根据能量守恒,mg(R-h)=1/2mv^2,即v1^2=2Rg(1-sinθ)
离心力为mv1^2/R
球面支持力：mgsinθ
圆心角为θ时离心力=球面支持力,mv1^2/R=mgsinθ,即v1^2=Rgsinθ
所以：2Rg(1-sinθ)=Rgsinθ
sinθ=2/3
这时h=Rsinθ=2/3R
v1=根下（Rgsinθ）=根下（2Rg/3)
水平速度v1水=v1sinθ
垂直速度v1垂=v1cosθ
落至地面时的水平速度：
v2水=v1水=v1sinθ=[根下（2Rg/3)]*2/3=2/3根下（2Rg/3)
落至地面时的垂直速度的平方:
v2垂^2=v1垂^2+2gh=v1^2[1-(sinθ)^2]+2g*2/3R=2Rg/3*5/9+4Rg/3=46Rg/27
落至地面时的垂直速度v2垂=根下（46Rg/27）
所以落至地面时的速度方向与地面的夹角
tanβ=v2垂/v2水=（根下（46Rg/27）/[2/3根下（2Rg/3)]=1/2*根下23≈2.3979
β=arctan(1/2*根下23)≈67.36°