问题已知双曲线x²/a²-y平方/b²=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为左支一点,若|PF2|²/|PF1|的最小值为8a,则双曲线离心率取值范围为?∵|PF2|²/|PF1|=（|PF1|+2a）²/|PF1|=4a

Question

【问题】已知双曲线x²/a²-y平方/b²=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为左支一点,若|PF2|²/|PF1|的最小值为8a,则双曲线离心率取值范围为?
∵|PF2|²/|PF1|=（|PF1|+2a）²/|PF1|=4a²/|PF1|+|PF1|+4a≥8a
当 4a²/|PF1|=|PF1|,即PF1=2a时取等号（基本不等式）
又∵|PF1|≥c-a①
∴2a≥c-a
∴c≤3a 即e≤3
【那么问题来了】
请问步骤①|PF1|≥c-a怎么来的?
是双曲线的性质或者定义吗?

Answer 1

看图像,c-a表示左顶点到左焦点距离,明显小于等于左支任意一点到左焦点距离.（画图）