如图所示，空间有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场，两平行光滑金属导轨水平放置，其电阻不计、间距为L，左端接有电阻为R的定值电阻．一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨

Question

如图所示，空间有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场，两平行光滑金属导轨水平放置，其电阻不计、间距为L，左端接有电阻为R的定值电阻．一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨接触良好，在水平力F作用下在O位置两侧M、N间做往复运动．t=0时刻起导体棒从M位置开始向右运动，其速度变化规律为v=v_msinωt，在O位置速度最大．

（1）写出定值电阻中的电流i随时间t变化的表达式；
（2）导体棒从M位置开始运动到第n次到达O位置的过程中，求定值电阻中产生的焦耳热Q及水平力F做的功W；
（3）单匝线框在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动产生电流的情形与题中导体棒运动产生电流的情形类似．试求导体棒从M位置第一次运动到O位置的过程中，通过定值电阻的电荷量q．

Answer 1

（1）导体棒运动时的速度为 v=v_msinωt，产生的感应电动势为：
e=BLv=BLv_msinωt
由欧姆定律得：导体棒中的电流为：i=(e)/(2R)
则电流i随时间t变化的表达式为：i=(BLvm)/(2R)sinωt
（2）导体棒中产生的感应电动势的最大值为：E_m=BLv_m
有效值为：E=(√(2))/(2)E_m．
通过R的电流的有效值为：I=(E)/(2R)，
电阻R产生的热量为：Q=I²Rt
解得：Q=(πB2L2v2m)/(16Rω)
由功能关系可知：W=2Q+(1)/(2)mv²
解得：W=(πB2L2v2m)/(8Rω)+(1)/(2)mv_m²
（3）由题意可知：E_m=BSω
而△Φ=BS=(Em)/(ω)
平均感应电动势为：E=(△Φ)/(△t)
平均感应电流为：I=(E)/(2R)
通过定值电阻的电荷量为：q=It
联立解得：q=(BLvm)/(2Rω)
答：（1）定值电阻中的电流i随时间t变化的表达式是i=(BLvm)/(2R)sinωt；
（2）定值电阻中产生的焦耳热Q是(πB2L2v2m)/(16Rω)，水平力F做的功W是(πB2L2v2m)/(8Rω)+(1)/(2)mv_m²．
（3）通过定值电阻的电荷量是(BLvm)/(2Rω)