如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．

Question

如图，在直棱柱ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，AD ∥ BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA ₁ =3．
（I）证明：AC⊥B ₁ D；
（II）求直线B ₁ C ₁ 与平面ACD ₁ 所成的角的正弦值．

Answer 1

（I）∵BB ₁ ⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB ₁ ，


又∵AC⊥BD，BB ₁ 、BD是平面BB ₁ D内的相交直线
∴AC⊥平面BB ₁ D，
∵B ₁ D⊂平面BB ₁ D，∴AC⊥B ₁ D；
（II）∵AD ∥ BC，B ₁ C ₁ ∥ BC，∴AD ∥ B ₁ C ₁ ，
由此可得直线B ₁ C ₁ 与平面ACD ₁ 所成的角，等于直线AD与平面ACD ₁ 所成的角（记为θ）
连接A ₁ D，
∵直棱柱ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，∠BAD=∠B ₁ A ₁ D ₁ =90°，
∴B ₁ A ₁ ⊥平面A ₁ D ₁ DA，结合AD ₁ ⊂平面A ₁ D ₁ DA，得B ₁ A ₁ ⊥AD ₁
又∵AD=AA ₁ =3，∴四边形A ₁ D ₁ DA是正方形，可得AD ₁ ⊥A ₁ D
∵B ₁ A ₁ 、A ₁ D是平面A ₁ B ₁ D内的相交直线，∴AD ₁ ⊥平面A ₁ B ₁ D，可得AD ₁ ⊥B ₁ D，
由（I）知AC⊥B ₁ D，结合AD ₁ ∩AC=A可得B ₁ D⊥平面ACD，从而得到∠ADB ₁ =90°-θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC ∽ Rt△DAB
因此， (AB)/(DA) =(BC)/(AB) ，可得AB=

BC•DA

=

3

连接AB ₁ ，可得△AB ₁ D是直角三角形，
∴B ₁ D ² =B ₁ B ² +BD ² =B ₁ B ² +AB ² +BD ² =21，B ₁ D=

21

在Rt△AB ₁ D中，cos∠ADB ₁ = (AD)/(B1 D) = (3)/(21) = (21)/(7) ，
即cos（90°-θ）=sinθ= (21)/(7) ，可得直线B ₁ C ₁ 与平面ACD ₁ 所成的角的正弦值为 (21)/(7) ．