已知函数f（x）=lg（a∧x-b∧x）（a>1>b>0）在函数y=f(x)的图像上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴当a,b满足什么条件时,f（x)在区间（1,正无穷）上恒取正值

Question

已知函数f（x）=lg（a∧x-b∧x）（a>1>b>0）
在函数y=f(x)的图像上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴
当a,b满足什么条件时,f（x)在区间（1,正无穷）上恒取正值

Answer 1

你好：
（1）由ax-bx＞0得( ab)x＞1=( ab)0,
由于( ab)＞1所以x＞0,
即f（x）的定义域为（0,+∞）
（2）任取x1,x2∈（0,+∞）,且x1＜x2
f(x1)=lg(ax1-bx1),f(x2)=lg(ax2-bx2)(ax1-bx1)-(ax2-bx2)=(ax1-ax2)+(bx2-bx1)
∵a＞1＞b＞0,
∴y=ax在R上为增函数,y=bx在R上为减函数,
∴ax1-ax2＜0,bx2-bx1＜0
∴(ax1-bx1)-(ax2-bx2)＜0,即(ax1-bx1)＜(ax2-bx2)
又∵y=lgx在（0,+∞）上为增函数,
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0,+∞）上为增函数．
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
（3）因为f（x）是增函数,所以当x∈（1,+∞）时,f（x）＞f（1）,
这样只需f（1）=lg（a-b）≥0,
即当a-b≥1时,f（x）在（1,+∞）上恒取正值．
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