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为倡导低碳生活,某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动,若厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为a、b万元,则消费者购买产品获得相应的补贴分别为110a,mlnb(b+1)

题目详情
为倡导低碳生活,某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动,若厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为a、b万元,则消费者购买产品获得相应的补贴分别为
1
10
a,mlnb(b+1)万元(m>0且为常数).已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的产品投放到市场,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.(精确到0.1,参考数据:ln4=1.4)
(1)设投放B型产品的金额为x万元,请你将这次活动中消费者得到的总补贴表示为x的函数,并求其定义域;
(2)当m=
2
5
时,当投放B型产品的金额为多少万元时,消费者得到的总补贴最多,并求出最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)当投放B型产品的金额的x万元时,投放A型产品的金额为(10-x)万元,消费者得到的总补贴为f(x)
f(x)=
1
10
(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-
x
10
+1,1≤x≤9
(2)当m=
2
5
时,消费者得到的总补贴为y=
2
5
ln(x+1)-
x
10
+1,x∈[1,9]
y′=
2
5(x+1)
-
1
10
=
3−x
10(x+1)
,令y′=0得x=3
当x∈[1,3]时,y′>0,当x∈(3,9]时,y′<0
∴x=3时,y取最大值ymax=
2
5
ln4+
7
10
≈1.3
即厂家分别投放A、B两种产品7万元与3万元时,消费者得到的总补贴最多,最多补贴约为1.3万元.
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