如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定

Question

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部 AB 是 一 长为2 R 的竖直细管，上半部 BC 是半径为 R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向， AB 管内有一原长为 R 、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5 R 后锁定， 在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为 g 。求：
(1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时的速度大小 v ₁ ；
(2)弹簧压缩到0.5 R 时的弹性势能 E _p ；
(3)已知地面与水面相距1.5 R ，若使该投饵管绕 AB 管的中轴线 OO ′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在 m 和 m 之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积 S 是多少？

Answer 1

(1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则
mg ＝                                     ①
由①式解得 v ₁ ＝ 。              ②
(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有
E _p ＝            ③
由②③式解得 E _p ＝3 mgR             ④
(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为 m 的鱼饵离开管口 C 后做平抛运动，设经过 t 时间落到水面上，离 OO ′的水平距离为 x ₁ ，由平抛运动规律有
                                 ⑤
                                     ⑥
由⑤⑥式解得 x ₁ ＝4 R                  ⑦
当鱼饵的质量为 m 时，设其到达管口 C 时速度大小为 v ₂ ，由机械能守恒定律有
E _p ＝ ⑧
由④⑧式解得 v ₂ ＝           ⑨
质量为 m 的鱼饵落到水面上时，设离 OO ′的水平距离为 x ₂ ，则
x ₂ ＝ v ₂ t ＋ R                                   ⑩
由⑤⑨⑩式解得
x ₂ ＝7 R
鱼饵能够落到水面的最大面积为