求矩阵A=(10-1,010,-101)的特征值与特征向量

Question

求矩阵 A=(1 0 -1,0 1 0,-1 0 1) 的特征值与特征向量

Answer 1

A=1 0 -1
0 1 0
-1 0 1
先求特征值
tI-A= t-1 0 1
0 t-1 0
1 0 t-1
求行列式=0
(t-1)^3-(t-1)=0
t(t-1)(t-2)=0,即三个特征值0,1,2
然后求特征向量,
对于t=0
(0*I-A)x=0
Ax=0
x=(a,b,c)^T
a-c=0,b=0,c-a=0
所以a=c
标准化的特征向量为
(1,0,1)^T/根号2,特征值0
对于t=1
(1*I-A)x=0
I-A= 0 0 1
0 0 0
1 0 0
x=(a,b,c)^T
c=0,0=0,a=0
所以
标准化的特征向量为
(0,1,0)^T,特征值1
对于t=2
(2*I-A)x=0
I-A= 1 0 1
0 1 0
1 0 1
x=(a,b,c)^T
a+c=0,b=0,a+c=0
a=-c
所以
标准化的特征向量为
(1,0,-1)^T/根号2,特征值2